Question

【題目】已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為3時，為正三角形.

（1）求的方程；

（2）延長交拋物線于點，過點作拋物線的切線，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質可知點橫坐標為的中點橫坐標，列出方程解出；（2）根據列出方程得出，橫坐標的關系，從而得出的斜率，設方程，與拋物線方程聯(lián)立，由判別式得出的截距與點坐標的關系，求出點坐標，利用三點共線，即可證明結論.

試題解析：(1)由題意知，

設，則的中點為.

因為，

由拋物線的定義知，

解得或(舍去)．

由，解得.

所以拋物線的方程為.

(2)設,

由得,所以，則．

設和拋物線相切，則將代入得

只有1個根，所以.

又因為，三點共線，所以

化簡得，

解得或.

因為時，點與點重合，故舍去，

所以所以.