Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=a，（a為常數(shù)，且a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，設(shè)b_n=S_n-3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{2n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若不等式an≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)+1對(duì)任意a∈[1，3）及n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ即S_n+1=2S_n+3ⁿ，而b_n=S_n-3ⁿ，因此可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）求得的數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，可以求得數(shù)列{2n•b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求得其前n項(xiàng)和T_n；
（3）不等式an≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)+1對(duì)任意a∈[1，3）及n∈N^*恒成立，探討數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，求出{a_n}的最小值，轉(zhuǎn)化為(an)min≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)   +1
利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解對(duì)數(shù)不等式即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ即S_n+1=2S_n+3ⁿ
∴

bn+1

bn

=

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=

2Sn+3n-3n+1

Sn-3n

=

2Sn-2•3n

Sn-3n

=2
故{b_n}為等比數(shù)列，公比為2．
又a≠3，∴b₁=S₁-3=a-3≠0，∴b_n=（a-3）•2^n-1．
（2）2nb_n=n•2ⁿ•（a-3），先求數(shù){n•2ⁿ}的前n項(xiàng)和T_n′．
∴T_n′=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ2T_n′=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
作差：-T_n′=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n′=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴T_n=（a-3）T_n′=（a-3）（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（a-3）．
（3）由（1）知S_n=3ⁿ+（a-3）2^n-1，a_n+1=S_n+3ⁿ=2•3ⁿ+（a-3）•2^n-1
則a_n=S_n-1+3^n-1=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2（n≥2）
∴n≥2時(shí)，an+1-an=4•3n-1+(a-3)•2n-2=2n-2[12(

3

2

)n-2+a-3]
當(dāng)a∈[1，3）時(shí)，12(

3

2

)n-2+a-3≥12+a-3=a+9＞0，又2^n-2＞0．
則n≥2時(shí)，a_n+1＞a_n恒成立．
又當(dāng)n=1時(shí)，a₂=a₁+3＞a₁恒成立．
故n∈N^*時(shí)．a(chǎn)_n+1＞a_n恒成立．∴（a_n）_min=a₁=a．
則由題中不等式得：a≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)   +1時(shí)對(duì)a∈[1，3）恒成立．
故1≥log

1

2

(x+1)-log

1

2

(3x2-1)+1，即0≥log

1

2

x+1

3x2-1

．
∴

x+1＞0 3x2-1＞0 x+1 3x2-1 ≥1

  ?

x＞-1 x＜- 3 3 或x＞ 3 3 - 2 3 ≤x≤1

故-

2

3

≤x＜-

3

3

或

3

3

＜x≤1．

點(diǎn)評(píng)：本是考查數(shù)列與不等式的綜合，此類(lèi)題一般難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式證明的技巧與數(shù)列通項(xiàng)求和的技巧，本題中用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)，是遞推關(guān)系知道的情況下求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法，對(duì)于不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，本題采用了分離常數(shù)法的思想將參數(shù)獨(dú)立出來(lái)，通過(guò)求關(guān)于n的代數(shù)式的最小值求出參數(shù)的取值范圍，本題考察了轉(zhuǎn)化化歸的思想，方程的思想，構(gòu)造法的技巧，綜合性強(qiáng)，技巧性強(qiáng)，題后應(yīng)注意總結(jié)本題解法上的規(guī)律，屬難題．