如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=

（1）求證：AO平面BCD，（2）求異面直線AB與CD所成角的大小，（3）求兩面角O—AC—D的大小。          

(Ⅰ)見解析    (Ⅱ) ∠OEF=arccos。

 （Ⅲ）arctan.


解析:

：（1）證明：AB=AD,BO=OD AOBD,連接OC，

CB=CD,BO=OD, COBD,CO=,AO=1,又CA=2,

即AOOC,, AO平面BCD.

(2)取BC的中點E，AC的中點F，∵O為BD的中點，∴EF∥AB，EO∥CD∴∠OEF或其補角是AB與CD所成的角，∴連接OF，∵OF是RT△AOC斜邊AC上的中線，∴OF=AC=1，∵EO=CD=1，EF=AB=,在△OEF中，由余弦定理得cos∠OEF=∴∠OEF=arccos。

（3）∵DO⊥OC,DO⊥AO，∴DO⊥平面AOC，過O作OG⊥AC于G連接DG

∴OG是DG在平面AOC上的射影，由三垂線定理得DG⊥AC，

∴∠OGD是二面角O—AC—D的平面角。

∵OG·AC=AO·OC，∴OG=，在RT△DOG中，tan∠DOG=,

∴∠OGD=arctan，∴二面角O—AC—D為arctan.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，
AB=2，AC=
6
．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（II）求二面角A-BC-D的大小；
（III）求O點到平面ACD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四面體ABCD中，O．E分別為BD．BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求 異面直線AB與CD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四面體ABCD中，0是BD的中點，CA=CB=CD=BD=a，AB=AD=
2
2
a．
（1）求證：平面AOC⊥平面BCD；
（2）求二面角O-AC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四面體ABCD的各個面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．
（1）若AC⊥CD，求證：AB⊥BD；
（2）求四面體ABCD的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，AO⊥平面BCD，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求證：面ABD⊥面AOC；
（2）求異面直線AE與CD所成角的大�。�

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