Question

已知數列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），若數列{a_n+1+λa_n}是等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：當k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

；
（Ⅲ）求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

（n∈N*）

Answer 1

分析：（I）根據數列{a_n+1+λa_n}是等比數列，建立等式關系，化簡整理得λ=

6

1+λ

得λ=2或λ=-3，當λ=2時，得a_n+1+2a_n=15•3^n-1①，當λ=-3時，得a_n+1-3a_n=-10（-2）^n-1②，①-②可求出a_n；
（II）當k為奇數時，作差變形得

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

1

3k+2k

+

1

3k+1-2k+1

-

4

3k+1

＜0，從而得到結論；
（III）由（Ⅱ）知k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

=

1

3k

+

1

3k+1

，討論n的奇偶，分別進行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵數列{a_n+1+λa_n}是等比數列
∴

an+1+λan

an+λan-1

=

an+6an-1+λan

an+λan-1

=

(1+λ)an+6an-1

an+λan-1

=(1+λ)

an+ 6 1+λ an-1

an+λan-1

應為常數
∴λ=

6

1+λ

得λ=2或λ=-3
當λ=2時，可得{a_n+1+2a_n}為首項是a₂+2a₁=15，公比為3的等比數列，
則a_n+1+2a_n=15•3^n-1①
當λ=-3時，{a_n+1-3a_n}為首項是a₂-3a₁=-10，公比為-2的等比數列，
∴a_n+1-3a_n=-10（-2）^n-1②
①-②得，a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ
（Ⅱ）當k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

1

3k+2k

+

1

3k+1-2k+1

-

4

3k+1

=

-7×6k+8×4k

3k+1•(3k+2k)(3k+1-2k+1)

=

4k•[8-7•( 3 2 )k]

3k+1(3k+2k)(3k+1-2k+1)

＜0
∴

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

=

1

3k

+

1

3k+1

①當n為偶數時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

②當n為奇數時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

+

1

an+1

1

3

+

1

32

+…+

1

3n+1

=

1

2

(1-

1

3n+1

)＜

1

2

．

點評：本題主要考查了等比數列，以及利用作差法比較大小和分類討論的思想，屬于中檔題．