Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，，，點、分別為棱、的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）三棱錐的體積為.

【解析】

試題分析：（1）取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，得到，再利用直線平面平行的判定定理得到平面；（2）先證明平面，利用（1）中的條件得到平面，再利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面，在證明平面的過程中，在等腰三角形中利用三線合一得到，通過證明平面得到，然后利用直線與平面垂直的判定定理即可證明平面；（3）利用題中的條件平面，在計算三棱錐的體積中，選擇以點為頂點，所在平面為底面的三棱錐來計算其體積，則該三棱錐的高為，最后利用錐體的體積計算公式即可.

試題解析：（1）取的中點，連結、，

∴為的中位線，，

∵四邊形為矩形，為的中點，

∴，，

∴四邊形是平行四邊形，，

又平面，平面，

∴平面；

（2） 底面，

，，又，，

平面， 又平面， ，

直角三角形中，，

為等腰直角三角形，，

是的中點，，又，平面，

，平面，

又平面， 平面平面；

（3）三棱錐即為三棱錐，

是三棱錐的高，

中，，，

三棱錐的體積，

.

考點：1.直線與平面平行；2.平面與平面垂直；3.等體積法求三棱錐的體積