Question

已知函數(shù)f（x）與g（x）在R上有定義，f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都成立，且f（1）=f（2）≠0，則g（1）+g（-1）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)橹挥幸粋�(gè)恒等式可用，因此只能采用賦值法逐步求出f（0），f（1），f（2），g（1），g（-1）等相關(guān)的函數(shù)值，使問(wèn)題獲解．

解答： 解：令x=y=0，則f（0）=f（0）g（0）-f（0）g（0）=0，
令y=0得f（x）=f（x）g（0），令x=1，所以f（1）=f（1）g（0），而f（1）=f（2）≠0，所以g（0）=1，
再令x=0得f（-y）=-g（0）f（y），即f（-y）=-f（y），所以f（x）是奇函數(shù)
令x=1，y=-1代入f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y）
f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）且f（-1）=-f（1）
∴f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]
又f（1）=f（2）≠0
得g（1）+g（-1）=1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題技巧性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高．在求解過(guò)程中得出f（x）為奇函數(shù)是解題的關(guān)鍵，使得在求g（-1）+g（1）的過(guò)程中將f（-1）和f（1）統(tǒng)一起來(lái)，使得式子能夠進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終求出結(jié)果．