Question

【題目】數(shù)列滿足：

（1）求的值；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)假設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)，，；(2)證明見(jiàn)詳解，；(3).

【解析】

（1）根據(jù)遞推公式，進(jìn)行賦值即可求得；

（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義，用其后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)，證明其為常數(shù)即可；

（3）先根據(jù)利用裂項(xiàng)求和求得，再將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問(wèn)題即可.

（1）因?yàn)?/span>

故可得

因?yàn)?/span>，根據(jù)，可解的；

由，可得

則，

綜上：，，.

（2）證明：由（1）知：

故，

故數(shù)列是首項(xiàng)為-4，公差為-1的等差數(shù)列，即證.

故，解得.

（3）由（2）知，因?yàn)?/span>，

故可得

故

故，又

故恒成立，等價(jià)于恒成立，即恒成立，即恒成立.

令，.

當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，顯然不成立；

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸

故在單調(diào)遞減，要滿足題意，只需即可，即，解得,

又因?yàn)?/span>，故.

綜上當(dāng)時(shí)，恒成立.