Question

已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線(xiàn)y²=x的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為

2-

3

或2+

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意和拋物線(xiàn)以及正三角形的對(duì)稱(chēng)性，可推斷出兩個(gè)邊的斜率，進(jìn)而表示出這兩條直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，求交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：y²=x的焦點(diǎn)F（

1

4

，0）
等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線(xiàn)y²=x的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，
則等邊三角形關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)邊的斜率k=±tan30°=±

3

3

，其方程為：y=±

3

3

（x-

1

4

），
與拋物線(xiàn)y²=x聯(lián)立，可得

1

3

(x-

1

4

)2=x
∴x=

7±4 3

4

當(dāng)x=

7+4 3

4

時(shí)，y=±

2+ 3

2

，∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為2+

3

當(dāng)x=

7-4 3

4

時(shí)，y=±

2- 3

2

，∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為2-

3

故答案為：2+

3

或2-

3

點(diǎn)評(píng)：本題以?huà)佄锞�(xiàn)為載體，考查拋物線(xiàn)與正三角形的對(duì)稱(chēng)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．