Question

已知f（x）=，且方程f（x）=-4x+8有兩個(gè)不同的正根，其中一根是另一根的3倍，記等差數(shù)列{a_n}、{b_n}　的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n且（n∈N₊）．
（1）若g（n）=，求g（n）的最大值；
（2）若a₁=，數(shù)列{b_n}的公差為3，試問(wèn)在數(shù)列{a_n} 與{b_n}中是否存在相等的項(xiàng)，若存在，求出由這些相等項(xiàng)從小到大排列得到的數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若a₁=，數(shù)列{b_n}的公差為3，且d_n=b_n-（n-1），h（x）=．試證明：h（d₁）•h（d₂）…h(huán)（d_n）＜．

Answer 1

解：（1）a=4，f（x）=，
=f（n）=
g（n）==，
此函數(shù)是關(guān)于n的減函數(shù)，
當(dāng)n=1時(shí)取得最大值，
故g（n）的最大值為g（1）=．
（2）由（1）知，可得
a_n=4n-，b_n=3n-2
令a_n=b_m，4n-=3m-2可得：=3m-4n∈Z，矛盾
所以在數(shù)列{a_n} 與{b_n}中不存在相等的項(xiàng)．
（3）證明：∵h(yuǎn)（d_n）=
∴要證h（d₁）•h（d₂）…h(huán)（d_n）＜
即要證××…×＜（直接用數(shù)學(xué)歸納法證明不出）
只要證明××…×＜（再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可）
①當(dāng)n=1時(shí)，××…×＜顯然成立，當(dāng)n=2時(shí)，××…×＜成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)××…×＜成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，為了要證明：××…×＜成立
只要證：
?3（2k+1）²≤（3k+1）[（2k+2）²-（2k+1）²]=（3k+1）（4k+3）
?12k²+12k+3≤12k²+13k+3?k≥0．
最后一個(gè)式子顯然成立，從而得出n=k+1時(shí)也成立．
由①②可得n∈N⁺時(shí)，h（d₁）•h（d₂）…h(huán)（d_n）＜．
分析：（1）a=4時(shí)，f（x）=，從而有：=f（n）=，g（n）==結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得出g（n）的最大值．
（2）假若存在數(shù)列{a_n}中的第n項(xiàng)與數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)相等，即4n-=3m-2，進(jìn)一步分析可得矛盾矛盾，即可得結(jié)論．
（3）根據(jù)題意得h（d_n）=，要證h（d₁）•h（d₂）…h(huán)（d_n）＜即要證××…×＜（直接用數(shù)學(xué)歸納法證明不出）只要證明××…×＜（再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法與等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、函數(shù)求最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．