Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²，g（x）=mlnx（m＞0），已知f（x）與g（x）有且僅有一個公共點．
（1）求m的值；
（2）對于函數(shù)h（x）=ax+b（a，b∈R），若存在a，b，使得關(guān)于x的不等式g（x）≤h（x）≤f（x）+1對于g（x）定義域上的任意實數(shù)x恒成立，求a的最小值以及對應的h（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）令f（x）=g（x），即x²=mlnx（x＞0），
可得，設(shè)，
則，
令p'（x）=0，得．
當時，p'（x）＞0，p（x）遞增；
當時，p'（x）＜0，p（x）遞減．
考慮到x∈（0，1]時，
時，；時，．
考慮到m＞0，故，因此m=2e．…（4分）
（2）由（1）知，g（x）=2elnx．
g（x）≤h（x）≤f（x）+1，可知a＞0． …（6分）
（�。┯蒱（x）≤f（x）+1對x∈（0，+∞）恒成立，
即x²-ax-b+1≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
所以△=（-a）²-4（-b+1）≤0，
解得①．…（8分）
（ⅱ）由g（x）≤h（x）對x∈（0，+∞）恒成立，
即2elnx-ax-b≤0對x∈（0，+∞）恒成立，
設(shè)G（x）=2elnx-ax-b，x∈（0，+∞），
則，
令G'（x）=0，得．
當時，G'（x）＞0，G（x）遞增；
當時，G'（x）＜0，G（x）遞減．
故，
則須，即得②．
由①②得③． …（10分）
存在a，b，使得③成立的充要條件是：
不等式④有解．…（12分）
不等式④可化為，
即，
令，則有-t²+2elnt+1≥0，
設(shè)φ（t）=-t²+2elnt+1，
則，
可知φ（t）在上遞增，上遞減．
又φ（1）=0，，
φ（e）=-e²+2elne+1=-e²+2e+1＜0，
所以φ（t）=-t²+2elnt+1在區(qū)間內(nèi)存在一個零點t₀，
故不等式-t²+2elnt+1≥0的解為1≤t≤t₀，
即，得2≤a≤2t₀．
因此a的最小值為2，代入③得0≤b≤0，故b=0，
對應的h（x）的解析式為h（x）=2x． …（16分）
分析：（1）令x²=mlnx（x＞0），得，設(shè)，令p'（x）=0，得．再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，能求出m的值．
（2）由g（x）=2elnx．g（x）≤h（x）≤f（x）+1，可知a＞0．（ⅰ）由x²-ax-b+1≥0對x∈（0，+∞）恒成立，知△=（-a）²-4（-b+1）≤0，解得．（ⅱ）由2elnx-ax-b≤0對x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)G（x）=2elnx-ax-b，x∈（0，+∞），利用導數(shù)解得得．由此能求出對應的h（x）的解析式．
點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．