Question

在空間五面體ABCDE中，四邊形ABCD是正方形，AB⊥平面BCE，∠CBE=90°．
點F是BE的中點．求證：
（I）ED∥平面ACF
（II）AC⊥平面BDF．

Answer 1

證明：（I）∵點F是AB的中點，AC∩BD=O，
∴FO為△BED的中位線
∴OF∥DE
又∵ED?平面ACF，OF?平面ACF
∴DE∥平面ACF（6分）
（II）∵AB⊥平面BCE，BF?平面BCE
∴AB⊥BF，
∵∠CBE=90°，
∴BF⊥BC，
∴AC⊥BD，
∵AB∩BC=B，∴BF⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，BF⊥AC，
又四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD∩BF=B，
∴AC⊥平面BDF（13分）
分析：（I）點F是AB的中點，利用FO為△BED的中位線，推出OF∥DE，然后證明ED∥平面ACF
（II）要證AC⊥平面BDF，只需證明BF⊥AC，AC⊥BD，BD∩BF=B即可．
點評：本題是中檔題，考查直線與平面的平行，直線與平面的垂直，考查空間想象能力，基本知識的靈活運用．