Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H為BC、CD、CC₁、C₁D₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁G⊥平面EFC₁；
（Ⅱ）求證：BH∥平面EFC₁．

Answer 1

【答案】分析：（I）以DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，求出向量、、的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積為零證得，，從而證得結(jié)論；
（II）根據(jù)=，則、、共面，又BH不在平面EFC₁內(nèi)，根據(jù)線面平行的判定定理可知BH∥平面EFC₁．
解答：解：如圖，建立坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A₁（2，0，2）、B₁（2，2，2）、C₁（0，2，2）、D₁（0，0，2）、B（2，2，0）、E（1，2，0）、F（0，1，0）、G（0，2，1），H（0，1，2）
（Ⅰ）∵，，
∴
∴
∵
∴而EF∩C₁E=E
∴A₁G⊥平面EFC₁
（Ⅱ）∵=，
∴、、共面．
又BH不在平面EFC₁內(nèi)，∴BH∥平面EFC₁

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間向量的方法證明線面垂直，以及線面平行，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．