(1)選修4-2:矩陣與變換
已知向量
1
-1
在矩陣M=
1m
01
變換下得到的向量是
0
-1

(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求曲線y2-x+y=0在矩陣M-1對應的線性變換作用下得到的曲線方程.
(2)選修4-4:極坐標與參數(shù)方程
在直角坐標平面內(nèi),以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點M的極坐標為(4
2
,
π
4
)
,曲線C的參數(shù)方程為
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
(α為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線OM的直角坐標方程;
(Ⅱ)求點M到曲線C上的點的距離的最小值.
(3)選修4-5:不等式選講
設實數(shù)a,b滿足2a+b=9.
(Ⅰ)若|9-b|+|a|<3,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若a,b>0,且z=a2b,求z的最大值.
(1)(Ⅰ)因為
1m
01
1
-1
=
1-m
-1
,
所以,
1-m
-1
=
0
-1
,即m=1.…(3分)
(Ⅱ)因為M=
11
01
,所以M-1=
1-1
01
.…(4分)
設曲線y2-x+y=0上任意一點(x,y)在矩陣M-1所對應的線性變換作用下的像是(x',y').
x′
y′
=
1-1
01
x
y
=
x-y
y
,…(5分)
所以
x-y=x′
y=y′
x=x′+y′
y=y′
代入曲線y2-x+y=0得y'2=x'.…(6分)
由(x,y)的任意性可知,曲線y2-x+y=0在矩陣M-1對應的線性變換作用下的曲線方程為y2=x.…(7分)
(2)(Ⅰ)由點M的極坐標為(4
2
,
π
4
)
得點M的直角坐標為(4,4),
所以直線OM的直角坐標方程為y=x.…(3分)
(Ⅱ)由曲線C的參數(shù)方程
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
(α為參數(shù))
化為普通方程為(x-1)2+y2=2,…(5分)
圓心為A(1,0),半徑為r=
2

由于點M在曲線C外,故點M到曲線C上的點的距離最小值為MA-r=5-
2
.…(7分)
(3)(Ⅰ)由2a+b=9得9-b=2a,即|6-b|=2|a|.
所以|9-b|+|a|<3可化為3|a|<3,即|a|<1,解得-1<a<1.
所以a的取值范圍-1<a<1.…(4分)
(Ⅱ)因為a,b>0,所以z=a2b=a•a•b≤(
a+a+b
3
)3=(
2a+b
3
)3=33
=27,…(6分)
當且僅當a=b=3時,等號成立.
故z的最大值為27.…(7分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:江蘇省丹陽市08-09學年高二下學期期末測試(理) 題型:解答題

 (本題是選做題,滿分28分,請在下面四個題目中選兩個作答,每小題14分,多做按前兩題給分)

A.(選修4-1:幾何證明選講)

如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,PA是⊙O的切線,PBAC于點E,交⊙O于點D,若PEPA,,PD=1,BD=8,求線段BC的長.

 

 

 

 

 

 

B.(選修4-2:矩陣與變換)

在直角坐標系中,已知橢圓,矩陣陣,求在矩陣作用下變換所得到的圖形的面積.

C.(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)

直線(為參數(shù),為常數(shù)且)被以原點為極點,軸的正半軸為極軸,方程為的曲線所截,求截得的弦長.

D.(選修4-5:不等式選講)

,求證:.

 

 

 

 

 

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