Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過橢圓的左、右焦點分別作傾斜角為的直線，且之間的距離為1．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓只有一個公共點，求點到直線的距離之積．

Answer 1

【答案】（1） （2）1

【解析】

（1）由已知求出，即得解；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，點到直線的距離之積為1；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到，求出，

，即得解.

（1）設(shè)，由之間的距離為1，得，所以

由橢圓的離心率為，得，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，點到直線的距離之積為1；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，

聯(lián)立及，消去得，

因為直線與橢圓只有一個公共點，所以，得

點到直線的距離，

點到直線的距離，

所以，

綜上可得，若直線與橢圓只有一個公共點，則點到直線的距離之積為1．