Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，在函數(shù)圖象上取不同兩點(diǎn)A、B，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，試探究函數(shù)在Q點(diǎn)處的切線與直線AB的位置關(guān)系？

（3）試判斷當(dāng)時(shí)圖象是否存在不同的兩點(diǎn)A、B具有（2）問中所得出的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）所以函數(shù)Q點(diǎn)處的切線與直線AB平行；

（3）圖象不存在不同的兩點(diǎn)A、B具有（2）問中所得出的結(jié)論.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)即可知其單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線的斜率，再求出直線AB的斜率，可看出它們是相等的，所以函數(shù)在Q點(diǎn)處的切線與直線AB平行；

（3）設(shè)，若滿足（2）中結(jié)論，則有

，化簡(jiǎn)得（*）.如果這個(gè)等式能夠成立，則存在，如果這個(gè)等式不能成立，則不存在.設(shè)，則*式整理得，問題轉(zhuǎn)化成該方程在上是否有解.再設(shè)函數(shù)，下面通過導(dǎo)數(shù)即可知方程在上是否有解，從而可確定函數(shù)是否滿足（2）中結(jié)論.

（1）由題知，

當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；

當(dāng)，由解得，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減； 4分

（2），，

所以函數(shù)Q點(diǎn)處的切線與直線AB平行； .7分

（3）設(shè)，若滿足（2）中結(jié)論，有

，即

即 （*） .9分

設(shè)，則*式整理得，問題轉(zhuǎn)化成該方程在上是否有解； 11分

設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，即方程在上無(wú)解，即函數(shù)不滿足（2）中結(jié)論 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.