已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),在函數(shù)圖象上取不同兩點(diǎn)A、B,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為,試探究函數(shù)在Q點(diǎn)處的切線與直線AB的位置關(guān)系?

(3)試判斷當(dāng)時(shí)圖象是否存在不同的兩點(diǎn)A、B具有(2)問中所得出的結(jié)論.

 

(1)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增;當(dāng),函數(shù)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;(2)所以函數(shù)Q點(diǎn)處的切線與直線AB平行;

(3)圖象不存在不同的兩點(diǎn)A、B具有(2)問中所得出的結(jié)論.

【解析】

試題分析:(1)求導(dǎo)即可知其單調(diào)性;(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線的斜率,再求出直線AB的斜率,可看出它們是相等的,所以函數(shù)在Q點(diǎn)處的切線與直線AB平行;

(3)設(shè),若滿足(2)中結(jié)論,則有

,化簡(jiǎn)得(*).如果這個(gè)等式能夠成立,則存在,如果這個(gè)等式不能成立,則不存在.設(shè),則*式整理得,問題轉(zhuǎn)化成該方程在上是否有解.再設(shè)函數(shù),下面通過導(dǎo)數(shù)即可知方程上是否有解,從而可確定函數(shù)是否滿足(2)中結(jié)論.

(1)由題知,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增;

當(dāng),由解得,函數(shù)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減; 4分

(2),,

所以函數(shù)Q點(diǎn)處的切線與直線AB平行; .7分

(3)設(shè),若滿足(2)中結(jié)論,有

,即

(*) .9分

設(shè),則*式整理得,問題轉(zhuǎn)化成該方程在上是否有解; 11分

設(shè)函數(shù),則,所以函數(shù)單調(diào)遞增,即,即方程上無(wú)解,即函數(shù)不滿足(2)中結(jié)論 14分

考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)向量
a
=(a1,a2),
b
=(b1,b2),定義一種向量積:
a
?
b
=(a1,a2)?(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知向量
m
=(
1
2
,4),
n
=(
π
6
,0),點(diǎn)P在y=cosx的圖象上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng),且滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則y=f(x)在區(qū)間[
π
6
,
π
3
]上的最大值是( �。�
A、4
B、2
C、2
2
D、2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省資陽(yáng)市高三下學(xué)期4月高考模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

設(shè)P是雙曲線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),△的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)M,則( )

(A)5 (B)4 (C)2 (D)1

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三二診模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn),直線AC的斜率與傾斜角為鈍角的直線AB的斜率之和為,而直線AB恰好經(jīng)過拋物線)的焦點(diǎn)F并且與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)(P在Y軸左側(cè)).則( )

A.9 B. C. D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三二診模擬文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則等于 .

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三二診模擬文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若是正三角形,則這個(gè)橢圓的離心率是( )

A. B. C. D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三三診模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的值;

(2)設(shè)銳角的內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別是,且,若向量與向量平行,求的值.

 

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已知橢圓的左右焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線垂直于直線于點(diǎn)P,線段的垂直平分線與的交點(diǎn)的軌跡為曲線,若上不同的點(diǎn),且,則的取值范圍是( )

A. B.

C. D.以上都不正確

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年四川省高三三診模擬文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示,主視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形,俯視圖是邊長(zhǎng)為的正六邊形,則該幾何體左視圖的面積是

 

 

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