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已知函數f(x)=數學公式,其中b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設b>0.若?x∈[數學公式數學公式],使f(x)≥1,求b的取值范圍.

解:(Ⅰ)①當b=0時,f(x)=
故f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞);無單調增區(qū)間.
②當b>0時,f′(x)=
令f′(x)=0,得x1=,x2=-
f(x)和f′(x)的情況如下:
x(-∞,--(-,,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)
故f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,-),(,+∞);單調增區(qū)間為(-,).
③當b<0時,f(x)的定義域為D={x∈R|x≠±}.
因為f′(x)=<0在D上恒成立,
故f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,-),(-),(,+∞);無單調增區(qū)間.
(Ⅱ)解:因為b>0,x∈[,],
所以f(x)≥1等價于b≤-x2+x,其中x∈[,].
設g(x)=-x2+x,g(x)在區(qū)間[,]上的最大值為g()=
則“?x∈[],使得b≤-x2+x”等價于b≤
所以b的取值范圍是(0,].
分析:(Ⅰ)分情況討論:①當b=0時,②當b>0時,③當b<0時,然后利用導數即可求得單調區(qū)間;
(Ⅱ)f(x)≥1等價于b≤-x2+x,g(x)=-x2+x,則“?x∈[],使得b≤-x2+x”等價于b小于等于g(x)在區(qū)間[]上的最大值.
點評:本題考查利用導數研究函數的單調性、函數恒成立及函數在區(qū)間上的最值問題,考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數f(x)的最小正周期;
(2)若函數y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數f(x)為定義在R上的奇函數,且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關于x的方程f(x)-a=o有解,求實數a的范圍.

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已知函數f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數m的范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數,且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數a的取值范圍是
 

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