Question

設(shè)．
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）：
（2）討論f^-1（x）在（1．+∞）上的單調(diào)性，并加以證明：
（3）令g（x）=1+log_ax，當(dāng)[m，n]?（1，+∞）（m＜n）時(shí)，f^-1（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令y=，解得
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂，∵
∴0＜a＜1時(shí)，f^-1（x₁）＞f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數(shù)：
a＞1時(shí)，f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是增函數(shù)．
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數(shù)，
∴，即有得，即ax²+（a-1）x+1=0，可知方程的兩個(gè)根均大于1，故有，
當(dāng)a＞1時(shí)，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是增函數(shù)，
∴?a=-1（舍去）．
綜上，得 ．
分析：（1）令y=，由求反函數(shù)的規(guī)則解出f^-1（x）．
（2）由（1），此是一個(gè)復(fù)合函數(shù)函數(shù)，外層函數(shù)的單調(diào)性要由底數(shù)a的取值范圍確定，要分兩類討論，內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性可由定義法證明，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）本題要按a的取值范圍分兩類求解，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）=1+log_ax是一個(gè)減函數(shù)，由（2）f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數(shù)故可得從中解出a的取值范圍，當(dāng)a＞1時(shí)，同理可得，解出a的取值范圍，再并起來即可得到符合條件的參數(shù)的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了反函數(shù)的求法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用單調(diào)性確定函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是理解對數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷出最值，由最值得出方程，解出參數(shù)的取值范圍，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性是本題的重點(diǎn)，本題難點(diǎn)出現(xiàn)在第三小題，由，轉(zhuǎn)化出，題后注意體會規(guī)律．