Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x-1，
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且a=2，c=2

3

，f（

C

2

）=

1

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角的余弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）通過f（

C

2

）=

1

2

，求出C，利用正弦定理求出A，判斷三角形的形狀，即可求△ABC的面積．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x-1
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
可得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
單調(diào)增區(qū)間[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（2）f（

C

2

）=

1

2

，
∴sin（C-

π

6

）=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，a=2，c=2

3

，可得sinA=

2× 3 2

2 3

=

1

2

，
∵c＞a，∴C＞A，∴A=

π

6

，
∴B=

π

2

，三角形的直角三角形，
∴S=

1

2

ac=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，三角形的面積的求法，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用．