已知橢圓的離心率，A，B分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(-1,0)的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),求△POQ面積最大時直線的方程.

 

【答案】

解：（Ⅰ）橢圓的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的方程為時，面積最大.

【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵。

（Ⅰ）根據(jù)離心率為e和向量的坐標(biāo)，建立方程組，求得橢圓的基本量，從而可得橢圓的方程；

（Ⅱ）方法一：設(shè)交點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，表示出△POQ的面積，利用基本不等式求得結(jié)論．方法二：設(shè)交點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x，表示出△POQ的面積，利用基本不等式求得結(jié)論．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M，N作x軸的垂線，垂足恰好是橢圓的兩個焦點(diǎn)，已知橢圓的離心率是
2
2
，直線l的斜率存在且不為0，那么直線l的斜率是
±
2
2
±
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點(diǎn)，求e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆江蘇揚(yáng)州中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

已知橢圓的離心率，A,B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A,B的一點(diǎn)，直線PA,PB傾斜角分別為，則          

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年黑龍江省高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

 (本小題滿分12分) 已知橢圓的離心率，A，B

分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn)，為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(-1,0)的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),求△POQ面積最大時直線的方程.

 

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