Question

設(shè){a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，S_n是其前n項和．記b_n＝，n∈N^*，其中c為實數(shù)．

(1) 若c＝0，且b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列，證明：S_{n k}＝n²S_k(k，n∈N^*)；

(2) 若{b_n}是等差數(shù)列，證明：c＝0.

Answer 1

證明：∵  {a_n}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，S_n是其前n項和，

∴  S_n＝na＋d.

(1) ∵  c＝0，∴  b_n＝＝a＋d.

∵  b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列，∴  b＝b₁b₄，

∴

∴  ad－d²＝0，

∴  ＝0.

∵  d≠0，∴  a＝d，∴  d＝2a，

∴  S_n＝na＋d＝na＋2a＝n²a，

∴  左邊＝S_nk＝(nk)²a＝n²k²a，右邊＝n²S_k＝n²k²a，

∴  左邊＝右邊，∴  原式成立．

(2) ∵  {b_n}是等差數(shù)列，

∴  設(shè)公差為d₁，

∴  b_n＝b₁＋(n－1)d₁

代入b_n＝，得b₁＋(n－1)d₁＝，

∴＋cd₁n＝c(d₁－b₁)對n∈N^*恒成立，

∴ 

∴  d₁＝d.∵  d≠0，∴  d₁≠0.