已知數(shù)列{an}是首項a1=
1
33
,公比q=
1
33
的等比數(shù)列,設(shè)bn+15log3an=t,常數(shù)t∈N*,數(shù)列{cn}滿足cn=anbn
(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)若{cn}是遞減數(shù)列,求t的最小值;
(3)是否存在正整數(shù)k,使ck,ck+1,ck+2重新排列后成等比數(shù)列?若存在,求k,t的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)由題意知,an=(
1
33
)n
,再由bn+1-bn=-15log3(
an+1
an
)=5
,得b1=-15log3a1+t=t+5,由此能夠證明{bn}是等差數(shù)列.
(2)由bn=5n+t,知cn=(5n+t)(
1
33
)n
,cn+1-cn=(
5n+5+t
33
-5n-t)(
1
33
)n<0
恒成立,再由f(n)=-5n+
5
33
-1
是遞減函數(shù),知當n=1時取最大值,f(n)max=-5+
5
33
-1
≈6.3
,由此能求出t的最小值.
(3)記5k+t=x,ck=(5k+t)(
1
33
)k=x(
1
33
)k
ck+1=(5k+5+t)(
1
33
)k+1=(x+5)(
1
33
)k+1
,ck+2=(5k+10+t)(
1
33
)k+2=(x+10)(
1
33
)k+2
,再分情況討論進行求解.
解答:解:(1)由題意知,an=(
1
33
)n
,(1分)
因為bn+1-bn=-15log3(
an+1
an
)=5
,b1=-15log3a1+t=t+5
∴數(shù)列bn是首項為b1=t+5,公差d=5的等差數(shù)列.(4分)
(2)由(1)知,bn=5n+t,cn=(5n+t)(
1
33
)n
,cn+1-cn=(
5n+5+t
33
-5n-t)(
1
33
)n<0
恒成立,即t>-5n+
5
33
-1
恒成立,(7分)
因為f(n)=-5n+
5
33
-1
是遞減函數(shù),
所以,當n=1時取最大值,f(n)max=-5+
5
33
-1
≈6.3
,(9分)
因而t>6.3,因為t∈N,所以t=7.(10分)
(3)記5k+t=x,ck=(5k+t)(
1
33
)k=x(
1
33
)k
ck+1=(5k+5+t)(
1
33
)k+1=(x+5)(
1
33
)k+1
,ck+2=(5k+10+t)(
1
33
)k+2=(x+10)(
1
33
)k+2

①若ck是等比中項,則由ck+1•ck+2=ck2(x+5)(
1
33
)k+1•(x+10)(
1
33
)k+2=x2(
1
33
)2k
化簡得2x2-15x-50=0,解得x=10或x=-
5
2
(舍),(11分)
所以5n+t=10,因而
k=1
t=5
k=2
t=0

又由常數(shù)t∈N*,則
k=2
t=0
舍去,
②若ck+1是等比中項,則由ck•ck+2=ck+12x(
1
33
)k•(x+10)(
1
33
)k+2=(x+5)2(
1
33
)2k+2

化簡得x(x+10)=(x+5)2,顯然不成立.(16分)
③若ck+2是等比中項,則由ck•ck+1=ck+22x(
1
33
)k•(x+5)(
1
33
)k+1=(x+10)2(
1
33
)2k+4

化簡得2x2-5x-100=0,因為△=52+4×2×100=25×33不是完全不方數(shù),因而x的值是無理數(shù),顯然不成立.
則符合條件的k、t的值為
k=1
t=5
.(18分)
點評:本題考查等差數(shù)列的證明方法、以遞減數(shù)列為載體求參數(shù)的最小值和利用分類討論思想在等比數(shù)列中的運用,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
練習冊系列答案
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已知數(shù)列{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,其前n項和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且b1=1,bn>0,數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列.
(Ⅰ)求{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求證:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
3
4

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已知數(shù)列{an}是首項a1=
1
4
的等比數(shù)列,其前n項和Sn中S3,S4,S2成等差數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log
1
2
|an|,若Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
,求證:
1
6
≤Tn
1
2

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已知數(shù)列{an}是首項為1的等差數(shù)列,且公差不為零,而等比數(shù)列{bn}的前三項分別是a1,a2,a6
(I)求數(shù)列{an}的通項公式an
(II)若b1+b2+…bk=85,求正整數(shù)k的值.

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已知數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,又數(shù)列{bn}的前n項和Sn=nan
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若cn=
1bn(2an+3)
,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

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已知數(shù)列{an}是首項a1=a,公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足2bn=(n+1)an;
(1)若a1、a3、a4成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若對任意n∈N*都有bn≥b5成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)數(shù)列{cn}滿足 cn+1-cn=(
12
)n(n∈N*)
,其中c1=1,f(n)=bn+cn,當a=-20時,求f(n)的最小值(n∈N*).

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同步練習冊答案
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