Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）e^x，其定義域為[-2，t]（t＞-2），
（1）當t=2時時，求函數f（x）的極大值；
（2）求證：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并確定這樣的x₀的個數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）求導數，確定函數的單調性，即可求函數f（x）的極大值；
（2）首先對關系式進行化簡，然后利用根與系數的關系進行判定，分類討論確定x₀的個數．

解答： 解：f'（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x----1-分
（1）由f'（x）=（x²-x）e^x=0得x=0，或x=1-----（2分）
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表

x	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，2）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

f（x）的極大值為f（0）=3．-----（4分）
（2）

f′(x0)

ex0

=

x

2 0

-x0，所以

x

2 0

-x0=

2

3

(t-1)2-----（5分）
設g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，
g(-2)=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)-----（6分）
g(t)=t(t-1)-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)-----（7分）
當t＞4，或-2＜t＜1時，g（-2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；-----（9分）
當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，而g(0)=-

2

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解；-----（11分）
當t=1或t=4時，g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；-----（13分）
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
當t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意，當1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意-----（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、根的存在性及根的個數判斷，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．