Question

學習“三角”時，小明同學在參考書上看到求sin18°精確值的一種方法，具體如下：設等腰△ABC的頂角∠A=36°．底角∠B的平分線交腰AC于D，且BC=1（如圖），則AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得

AC

BC

=

BD

CD

，即

1+2sin18°

1

=

1

2sin18°

，整理得4sin²18°+2sin18°-1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=

5 -1

4

．現(xiàn)設α，β，α+β均屬于區(qū)間（0，

π

2

），若cos（

3π

2

-2β）•sin（2α+β）=cos（

π

2

+2α）•sin（α+2β），則下列命題正確的是（　�。�

• A、關于x的方程α•4^x+β•2^x+α=0有實數(shù)解
• B、關于x的方程α•（log₄x）²+β•log₄x-α=0無實數(shù)解
• C、關于x的方程sinx=

  2β-α

  α

  有實數(shù)解
• D、關于x的方程cosx=

  β

  2a+β

  無實數(shù)解

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：創(chuàng)新題型

分析：題干信息較多的選擇題，應該從選項入手．

解答： 解：1 4^x=（2^x）²，則可以把A選項看成是一個關于2^x的二元一次函數(shù)，由已知條件可知，α、β均大于0，2^x也大于0，所以A選項中的所有項都是大于0的，所以其和不可能為0，故無解．
    2 對于B選項可從判別式入手，得△=β²+4αβ，根據(jù)題意，α、β均大于0，所以判別式也大于0，故方程有解，B錯
    3 只要討論

2β-α

α

的絕對值小于等于1即可，即|

2β-α

α

|≤1有解，解之，有0≤β≤α，這個解題干信息可以滿足，故C有解，C正確
    4 同理，只需判斷|

β

2α+β

|＞1是不是恒成立，我們解不等式有：α+β＜0或者α＜0，顯然與題干信息不符，故D錯誤，
故選：C

點評：這種題，題干信息比較多，也比較難，但選項簡單易判，故應該從選項著手會更容易些．