Question

(08年海淀區(qū)期中練習文)（14分）

已知橢圓的中心是坐標原點，它的短軸長為，右焦點為，右準線與軸相交于點， ，過點的直線與橢圓相交于兩點， 點和點在上，且軸.

          (I) 求橢圓的方程及離心率；

          (II)當時，求直線的方程；

    （III）求證：直線經過線段的中點.

Answer 1

解析：（I）設橢圓方程為：

由得 .                                                 1分

又，

解得.

∴橢圓方程為：.                                                 3分

離心率.                                                          4分

（II）由（I）知點坐標為（1，0），又直線的斜率存在，設的斜率為,

則的方程為.                                            5分

由得   （*）                 6分

設，則是（*）方程兩根，且，

∴. 

∵軸，且，

∴即，解得.

∴直線的方程為或.                          8分

（III）∵點，∴中點的坐標為.

     ① 當軸時，，

那么此時的中點為，即經過線段的中點.               9分

②     當不垂直軸時，則直線斜率存在,

設直線的方程為,                                       10分

由（*）式得.

又∵得

故直線的斜率分別為

.

又,

.

∴即.

且有公共點，∴ 三點共線.

∴直線經過線段的中點.                                     14分

綜上所述，直線經過線段的中點.

說明：其他正確解法按相應步驟給分.