Question

某同學對函數f（x）=xsinx進行研究后，得出以下結論：
①函數y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②對任意實數x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函數y=f（x）的圖象與直線y=z有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
④當常數k滿足|k|＞1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．
其中所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：①由函數f（x）是偶函數，所以是軸對稱圖形；
②作差，由正弦函數有界性，②∵|sinx|≤1，即可判斷不等式成立；
③聯立方程，解出x，由x的值可得，每相鄰兩面?zhèn)�值不一定相等，如-

3π

2

，0，

π

2

，距離不相等；
④聯立方程，由方程組只有一個解，所以兩面圖象只有一個公共點．

解答： 解：①∵f（x） 為偶函數，∴f（x）的圖象關于y軸對稱，即f（x）的圖象是軸對稱圖形，∴①對；
②∵|sinx|-1≤0，∴|x|（|sinx|-1）≤0，即|xf（x）|≤|x|，∴②對；，
③∵xsinx=x，x（sinx-1）=0，∴x=0或sinx=1，∴兩圖象的交點的橫坐標為：x=0，x=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴兩圖象有無窮多個公共點，但任意相鄰兩點的距離不一定相等；
④

y=kx y=xsinx

，kx=xsinx⇒x（k-sinx）=0，∵|k|＞1，∴k-sinx≠0，∴x=0，即兩面圖象僅有一個公共點，∴④對．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了，函數與方程思想，零點，正弦函數有界性，等價轉化思想，等知識，屬于中檔題．