Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+

b

2

x2+cx，(b，c∈R)
（1）b=2，c=-1，求y=|f（x）|的單調(diào)增區(qū)間；
（2）b=6，g（x）=|f（x）|，若g（x）≤kx對(duì)一切x∈[0，2]恒成立，求k的最小值h（c）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,選作題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）=x³+x²-x=x（x-

-1- 5

2

）（x-

-1+ 5

2

），從而寫出y=|f（x）|的表達(dá)式，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)并由導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而有函數(shù)圖象的變換寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由題意，f（x）=x³+3x²+cx，若x=0，則對(duì)任意k，都有g(shù)（0）=0≤k•0成立；若x≠0，則即x∈（0，2]時(shí)，通過獨(dú)立參數(shù)法化g（x）≤kx為k≥|x²+3x+c|，令m（x）=x²-3x+c，從而求|x²+3x+c|在[0，2]上的最大值，則將g（x）≤kx對(duì)一切x∈[0，2]恒成立化為k≥，|x²+3x+c|_max，從而求出k的取值范圍，再求k的最小值h（c）的表達(dá)式．

解答： 解：（1）由題意，f（x）=x³+x²-x=x（x-

-1- 5

2

）（x-

-1+ 5

2

），
則y=|f（x）|=

x3+x2-x，x∈[ -1- 5 2 ，0]∪[ -1+ 5 2 ，+∞) -x3-x2+x，x∈(-∞， -1- 5 2 )∪(0， -1+ 5 2 )

，
又∵f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
∴f（x）=x³-x²-x在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，

1

3

）上是減函數(shù)，在（

1

3

，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=|f（x）|的單調(diào)增區(qū)間有：（

-1- 5

2

，-1），（0，

1

3

），（

-1+ 5

2

，+∞）；
（2）由題意，f（x）=x³+3x²+cx，
若x=0，則對(duì)任意k，都有g(shù)（0）=0≤k•0成立；
若x≠0，則即x∈（0，2]時(shí)，
g（x）≤kx可化為k≥|x²+3x+c|，
令m（x）=x²+3x+c=（x+

3

2

）²-

9

4

+c，
∴m（x）=（x+

3

2

）²-

9

4

+c在[0，2]上的最小值為
m（0）=c，最大值為m（2）=7+c，
則當(dāng)|c|＞|7+c|，即c＜-3.5時(shí)，|x²+3x+c|_max=|c|=-c，
當(dāng)|c|≤|7+c|，即c≥-3.5時(shí)，|x²-3x+c|_max=|7+c|=7+c，
則k≥|x²+3x+c|，對(duì)一切x∈（0，2]恒成立可化為，
當(dāng)c＞-3.5時(shí)，k≥-c；當(dāng)c≤-3.5時(shí)，k≥7+c；
則k的最小值h（c）=

-c，c＜-3.5 7+c，c≥-3.5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)圖象的變換應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，化簡(jiǎn)與思路都比較難，屬于難題．