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橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的內接等腰△ABC的頂點A的坐標為（0，b），其底邊BC上的高在y軸上，若△ABC的面積不超過
3
2
b2，則橢圓離心率的取值范圍為（　�。�
A、(0，
1
2
]
B、[
1
2
，1)
C、(0，
3
2
]
D、[
3
2
，1)
分析：首先設點B（acosx，bsintx） C（-acosx，bsinx），進而求得底邊、高、面積得出恒有（1-sinx）cosx≤
3b
2a
，再根據c2=a2-b2，就能得到答案．
解答：解：∵△ABC為等腰三角形．
∴可設點B（acosx，bsinx） C（-acosx，bsinx）．其中-
π
2
＜x＜
π
2
．
此時易知，該三角形底邊BC=2acosx，高=b（1-sinx）
∴S=ab（1-sinx）cosx
由題設可得ab（1-sinx）cosx≤
3
2
b2
∴恒有（1-sinx）cosx≤
3b
2a

∴
3
3
4
≤
3b
2a

整理可得，
3
a≤2b
兩邊平方，3a2≤4b2=4（a2-c2）
∴4c2≤a2
∴
c
a
≤
1
2
．
故選A．
點評：本題考查了橢圓的簡單性質，本題采用參數方法使問題變得簡單化，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設 A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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