Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g（x），求函數(shù)g（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，求得函數(shù)g（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g（x）=

2

sin[2（x-

π

6

）-

π

4

]-1
=

2

sin（2x-

7π

12

）-1 的圖象．
令2x-

7π

12

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

2

+

13π

24

，故函數(shù)g（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為 x=

kπ

2

+

13π

24

，k∈z．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

7π

12

∈[-

π

4

，

3π

4

]，故當(dāng)2x-

7π

12

=-

π

4

 時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-1-1=-2；
當(dāng)2x-

7π

12

=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．