Question

如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE是∠CAB的角平分線，CD與AE相交于點F，EG⊥AB于G．

求證：EG²＝FD·EB．

Answer 1

答案：
解析：

證明：因為∠ACE＝90°，CD⊥AB， 　　所以∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°． 　　因為∠AFD＝∠CFE，所以∠FAD＋∠CFE＝90°． 　　又因為∠CAE＝∠FAD， 　　所以∠AEC＝∠CFE．所以CF＝CE． 　　因為AE是∠CAB的平分線，EG⊥AB，EC⊥AC， 　　所以EC＝EG，CF＝EG． 　　因為∠B＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CAB＝90°， 　　所以∠ACF＝∠B． 　　因為∠CAF＝∠BAE， 　　所以△AFC∽△AEB， 　　因為CD⊥AB，EG⊥AB， 　　所以Rt△ADF∽Rt△AGE． 　　所以＝，＝． 　　所以CF·EG＝FD·EB，EG2＝FD·EB． 　　分析：欲證EG2＝FD·EB，即證＝，易證＝，EG＝CF，故只需證＝，亦即證△AFC∽△AEB．

提示：

對于直角三角形相似的判定，有一種特殊方法是：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似．