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【題目】設函數是定義在上的函數，并且滿足下面三個條件：①對任意正數，都有；②當時， ；③.

（1）求， 的值；

（2）證明在上是減函數；

（3）如果不等式成立，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析; （Ⅲ））.

【解析】試題分析：（1）利用賦值法，求、的值．
（2）利用單調性的定義，結合抽象函數之間的數值關系進行證明．
（3）利用函數的單調性將不等式進行轉化，解不等式即可．

試題解析：

（Ⅰ）令易得．

而，

且，得．

（Ⅱ）

∴

∴在上為減函數．

（Ⅲ）由條件（1）及（Ⅰ）的結果得： ，其中，

由（Ⅱ）得： ，解得的范圍是）

點晴：本題屬于對函數單調性的證明和單調性應用的考察，若函數在區(qū)間上單調遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區(qū)間上單調遞減，則當時有；據此可以解不等式，由函數值的大小，根據單調性就可以得自變量的大小關系.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，設傾斜角為的直線的參數方程為（為參數）與曲線（為參數）相交于不同的兩點．

（1）若，求線段的中點的直角坐標；

（2）若直線的斜率為2，且過已知點，求的值．

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【題目】已知等比數列的各項均為正數，且， .

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列滿足： ，求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（其中）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，且圖象上一個最低點為.

（1）求函數的解析式；

（2）當時，求函數的值域；

（3）若方程在上有兩個不相等的實數根，求的值.

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【題目】已知函數.

（1）當時，證明： 為偶函數；

（2）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）若，求實數的取值范圍，使在上恒成立.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數

（1）若，且在上單調遞增，求實數的取值范圍

（2）是否存在實數，使得函數在上的最小值為？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，和平面內一點，過點任作直線與橢圓相交于兩點，設直線的斜率分別為，，試求滿足的關系式.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某商場進行有獎促銷活動，顧客購物每滿500元，可選擇返回50元現金或參加一次抽獎，抽獎規(guī)則如下：從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現金獎勵，假設顧客抽獎的結果相互獨立.

（Ⅰ）若顧客選擇參加一次抽獎，求他獲得100元現金獎勵的概率；

（Ⅱ）某顧客已購物1500元，作為商場經理，是希望顧客直接選擇返回150元現金，還是選擇參加3次抽獎？說明理由；

（Ⅲ）若顧客參加10次抽獎，則最有可能獲得多少現金獎勵？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列的前項和為，且滿足：

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若存在，使得 成等差數列，試判斷：對于任意的，且是否成等差數列，并證明你的結論.

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