設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
a
x
(a＞0)．
（1）當(dāng)a=2時，求h（x）=f（x）+g（x）的最小值；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），在（0，+∞）上有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，求出在各區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號，則原函數(shù)的單調(diào)性可求，最小值可求；
（2）把f（x），g（x）的解析式代入函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h（x）在定義域內(nèi)的最小值，由最小值小于0求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答： 解：（1）a=2時，g（x）=
2
x
，∴h（x）=lnx+
2
x
 （x＞0），
∴h′(x)=
1
x
-
2
x2
=
x-2
x2
．
當(dāng)0＜x＜2時，h′（x）＜0，
當(dāng)x＞2，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=2時，h（x）取得最小值h（2）=ln2+1；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+
a
x
 (x＞0)，
∴h′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
(a＞0)，
當(dāng)0＜x＜a時，h′（x）＜0，
當(dāng)x＞a時，h′（x）＞0，
h（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）的最小值為h（a），
∴要使h（x）在（0，+∞）上有兩個不同的零點(diǎn)，則只需h（a）＜0，
∴l(xiāng)na+1＜0，即lna＜-1，
∴0＜a＜
1
e
．
∴a的取值范圍是（0，
1
e
）．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中高檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知甲箱裝有a個白球2個黑球，乙箱裝有2個白球1個黑球，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)摸兩球，乙箱中隨機(jī)模一球，若恰好摸出三個黑球的概率為
1
18
．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）記甲箱摸出x個黑球，乙箱摸出y個黑球，ξ=|x-y|．求ξ的分布列及Eξ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若關(guān)于x的方程x2+2ax-2a-2=0在x∈[0，1]中有解，求a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在區(qū)間[0，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0有
f(a)+f(b)
a+b
＞0恒成立．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）若f（x）≤m2-2am+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A．
（Ⅰ） 求實(shí)數(shù)b的值，及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（Ⅱ） 求過點(diǎn)B（0，-1）的拋物線C的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
m
ax
-1（a，m為實(shí)常數(shù)，a＞0）．
（1）當(dāng)m＜0，a=2時，用定義證明：y=f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）設(shè)a=2，g(x)=-
m
2x
，F(xiàn)（x）=|f（x）+g（x）|，請你判斷F（x+1）與F（x）的大小關(guān)系，并說明理由．
（3）當(dāng)m=1，且x∈[1，2]時，不等式f（x）≥3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1）和B（-2，-2），且圓心在直線l：x+y-1=0上．
（1）求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線x-y+5=0上，求PQ的最小值；
（3）若直線kx-y+5=0被圓C所截得弦長為8，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且同時滿足以下三個條件：①f（1）=1；②對任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0； ③當(dāng)x≥0，y≥0，x+y≤1時總有f（x+y）≥f（x）+f（y）．
（1）試求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）證明：當(dāng)x∈[
1
4
，1]時，恒有2x≥f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知n∈N*，則
lim
n→∞
3n+1-2n+1
3n+2n
=
 
．

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