Question

定義在上的函數(shù)，如果滿(mǎn)足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)是上的有界函數(shù)，其中稱(chēng)為函數(shù)的上界.
（1）判斷函數(shù)是否是有界函數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)判斷過(guò)程；
（2）試證明：設(shè)，若在上分別以為上界，
求證：函數(shù)在上以為上界；
（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，
求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）是有界函數(shù)（2）見(jiàn)解析（3）

解析試題分析：（1），當(dāng)時(shí)，
則，由有界函數(shù)定義可知是有界函數(shù)
(2)由題意知對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立
即，同理（常數(shù)）
則，即
在上以為上界
(3)由題意知，在上恒成立。
，    
∴  在上恒成立
∴   
設(shè)，，，由得 t≥1，
設(shè)，，
所以在上遞減，在上遞增，（單調(diào)性不證，不扣分）
在上的最大值為，
在上的最小值為。
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
考點(diǎn)：二次函數(shù)求最值及不等式恒成立問(wèn)題
點(diǎn)評(píng)：不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，利用單調(diào)性可求最值