Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱PD、PC的中點．
（1）求證：PD⊥平面AMN；
（2）求三棱錐P-AMN的體積；
（3）求二面角P-AN-M的大�。�

Answer 1

分析：（1）由題意可得：CD⊥PD，即可得到MN⊥PD，在△PAD中，PA=AD=2，M為PD的點，可得AM⊥PD，再利用線面垂直的判定定理可得線面垂直．
（2）由題意可得：CD⊥平面PAD，即可得到MN⊥平面PAD，所以∠AMN=90°，再結(jié)合題中的條件可得S△AMN=

1

2

AM•MN=

2

2

，又因為PM為三棱錐P-AMN的高，所以可得三棱錐的體積．
（3）作MH⊥AN于H，連接PH，可得∠PHM為二面角P-AN-M的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識求出二面角的平面角即可．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴CD⊥PD
在△PCD中，M、N分別為PD、PC的中點，則MN∥CD，
∴MN⊥PD 
∵在△PAD中，PA=AD=2，M為PD的點，
∴AM⊥PD，
∵AM∩MN=M，AM?平面AMN，MN?平面AMN
∴PD⊥平面AMN
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，
∴CD⊥平面PAD．
∵M(jìn)N∥CD，
∴MN⊥平面PAD
又∵AM?平面PAD
∴MN⊥AM，即∠AMN=90°，
∵在Rt△PAD中，PA=AD=2，M為PD的中點，
∴AM=PM=

2

．
又∵MN=

1

2

CD=1，
∴S△AMN=

1

2

AM•MN=

2

2

．
∵PM⊥平面AMN，
∴PM為三棱錐P-AMN的高，
∴V三棱錐P-AMN=

1

3

S△AMN•PM=

1

3

．
（3）作MH⊥AN于H，連接PH，
∵PM⊥平面AMN，
∴PH⊥AN，
∴∠PHM為二面角P-AN-M的平面角
∵PM⊥平面AMN，
∴PM⊥MH．
在Rt△AMN中，MH=

AM•MN

AN

=

2

3

，
∴在Rt△PMH中，tan∠PHM=

PM

MH

=

2

2 3

=

3

，
∴∠PHM=60°則二面角P-AN-M的大小為60°．

點評：本題主要考查用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及求二面角的平面角與幾何體的體積公式，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，因此由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵．也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識解決空間角與空間距離等問題．