Question

在直角坐標平面xoy中，已知點F₁（-5，0）與點F₂（5，0），點P為坐標平面xoy上的一個動點，直線PF₁與PF₂的斜率kPF1與KPF2都存在，且kPF1•kPF2=λ，λ為一個常數．
（1）求動點P的軌跡T的方程，并說明軌跡T是什么樣的曲線．
（2）設A、B是曲線T上關于原點對稱的任意兩點，點C為曲線T上異于點A、B的另一任意點，且直線AC與BC的斜率k_AC與k_BC都存在，若kAC•kBC=-

9

25

，求常數λ的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,圓錐曲線的軌跡問題

專題：綜合題

分析：（1）設P（x，y），求得kPF1=

y

x+5

，kPF2=

y

x-5

，利用kPF1•kPF2=λ可得動點P的軌跡T的方程，對λ討論，可得軌跡；
（2）設點A（x，y），則點B（-x，-y），設C（x₀，y₀），則kAC=

y0-y

x0-x

，kBC=

y0+y

x0+x

，利用kAC•kBC=-

9

25

，A，C在曲線T上，即可求得λ的值．

解答： 解：（1）設P（x，y），則kPF1=

y

x+5

，kPF2=

y

x-5

由kPF1•kPF2=λ得y²-λx²=-25λ（x≠±5）
∴動點P的軌跡T的方程為y²-λx²=-25λ（x≠±5）
①λ＜-1時，軌跡T是一個焦點在y軸上且去除短軸的兩個端點的橢圓；
②λ=-1時，軌跡T是一個圓心在坐標原點，半徑為5且去掉與x軸的兩個交點的圓；
③-1＜λ＜0時，軌跡T是一個焦點在x軸上且去除長軸的兩個端點的橢圓；
④λ=0時，方程為y=0（x≠±5），軌跡T是去掉兩個點的一條直線
⑤λ＞0時，軌跡T是一個焦點在x軸上且去除實軸的兩個端點的雙曲線；
（2）設點A（x，y），則點B（-x，-y），設C（x₀，y₀），則kAC=

y0-y

x0-x

，kBC=

y0+y

x0+x

∵kAC•kBC=-

9

25

∴

y0-y

x0-x

•

y0+y

x0+x

=-

9

25

∴

y02-y2

x02-x2

=-

9

25

①
∵A，C在曲線T上
∴y²=λx²-25λ（x≠±5），y02=λx02-25λ(x0≠±5)
代入①可得λ=-

9

25

點評：本題考查軌跡與方程，考查斜率的計算，解題的關鍵是設點，利用斜率公式求解．