(2005山東,20)如下圖,已知長(zhǎng)方體,AB=2,
,直線BD與平面
所成的角為30°,AE垂直BD于E,F為
的中點(diǎn).
(1)求異面直線AE與BF所成的角;
(2)求平面BDF與平面所成二面角(銳角)的大��;
(3)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.
解析:解法一:在長(zhǎng)方體 由已知AB=2, 又AD⊥平面 從而易得 (1)因?yàn)?/FONT> 所以 即異面直線AE、BF所成的角為 (2)易知平面 設(shè)n=(x,y,z)是平面BDF的一個(gè)法向量,
取n=(1, 即平面BDF與平面 (3)點(diǎn)A到平面BDF的距離,即 所以距離 所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為 解法二:如下圖. (1)連結(jié) ∵
∴∠BFK為異面直線BF與AE所成的角.連結(jié)BK,由FK⊥面 在Rt△
又 ∴異面直線BF與AE所成的角為 (2)如下圖,由于DA⊥面 ∴∠AGD即為平面BDF與平面 且∠DAG=90°.在平面 ∵F為 ∴ ∴Rt△BAS為等腰三角形,垂足G點(diǎn)為斜邊SB的中點(diǎn)F,即F、G重合, 易得 ∴ 平面BDF與平面 (3)如下圖,由(2)知平面AFD是平面BDF與平面 ∴面AFD⊥面BDF. 在Rt△ADF中,由A作AH⊥DF于H,則AH即為點(diǎn)A到平面BDF的距離. 由 得
所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為 |
剖析:本題考查線線角、線面角以及點(diǎn)面距離的求法,可用傳統(tǒng)綜合法或向量法求解. |
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