已知：a、b為異面直線．

求證：經過b有且僅有一個平面和a平行．

答案：略
解析：

證明：如圖，在b上任取一點A，經過A作直線，那么和b是相交直線，它們確定平面．

∵，∴a∥平面．

∴經過b有一個平面和a平行．

再證經過b且與a平行的平面只有一個．

用反證法．

假設經過b且與a平行的平面還有．

設經過直線b上一點A和直線a確定平面，平面平面．

∵，∴．

這樣過點A有兩條直線和都和直線a平行，這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾．

∴經過b且與a平行的平面只有一個．


提示：

欲證經過b有且僅有一個平面和a平行，首先要證明滿足條件的平面是存在的，然后再證明符合題目要求的平面只有一個．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′內接于高為
2
的圓柱中，已知∠ACB=90°，AA′=
2
，BC=AC=1，O為AB的中點．
求（1）圓柱的全面積；
（2）異面直線AB′與CO所成的角的大小；
（3）求二面角A′-BC-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

10、下列命題中，正確命題的序號為
④⑤
．
①經過空間任意一點都可作唯一一個平面與兩條已知異面直線都平行；
②已知平面α，直線a和直線b，且a∩α=a，b⊥a，則b⊥α；
③有兩個側面都垂直于底面的四棱柱為直四棱柱；
④三棱錐中若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也一定互相垂直；
⑤三棱錐的四個面可以都是直角三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知如圖（1），正三角形ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點，且滿足
CE
CA
=
CF
CB
=k，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖（2）．
（Ⅰ）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大�。�
（Ⅲ）若異面直線AB與DE所成角的余弦值為
2
4
，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

11、下列命題中正確命題的個數(shù)是（　�。�
①經過空間一點一定可作一平面與兩異面直線都平行；
②已知平面α、β，直線a、b，若α∩β=a，b⊥a，則b⊥α；
③有兩個側面垂直于底面的四棱柱為直四棱柱；
④四個側面兩兩全等的四棱柱為直四棱柱；
⑤底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
⑥底面是等邊三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，則三棱錐P-ABC是正三棱錐．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆新課標高三配套第四次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知四棱錐P-ABCD的側棱長與底面邊長都相等，點是的中點，則異面直

線與所成角的余弦值為（    ）

 A.        B.        C.       D.

 

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