如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為3,底面是邊長(zhǎng)為4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=0,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中點(diǎn).
(1)求二面角O1-BC-D的大��;
(2)求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.
(Ⅰ)過(guò)O作OF⊥BC于F,連接O1F,∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F, ∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角, 3分 ∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF= 在Rt△O1OF在,tan∠O1FO= 即二面角O1-BC-D為60° 6分; (Ⅱ)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位線,∴OE∥O1C ∴OE∥O1BC,∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交線O1F. 過(guò)O作OH⊥O1F于H,則OH是點(diǎn)O到面O1BC的距離, 9分 點(diǎn)E到面O1BC的距離等于OH, ∴OH= 解法二:(I)∵OO1⊥平面AC,∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖) ∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為4,∠DAB=60°的菱形, ∴OA=2 則A(2 設(shè)平面O1BC的法向量為 則 ∴ ∴ ∴cos< 設(shè)O1-BC-D的平面角為α,∴cosα= 故二面角O1-BC-D為60°; (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E到平面O1BC的距離為d, ∵E是O1A的中點(diǎn),∴ 則d= ∴點(diǎn)E到面O1BC的距離等于 |
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