分析 (1)當(dāng)a=-2時(shí),對(duì)f(x)求導(dǎo),求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即可判斷單調(diào)區(qū)間;
(2)若a≥1,且f(x)>1在區(qū)間[1e,e]上恒成立,即:f(x)在[1e,e]上的最小值大于1;利用導(dǎo)數(shù)求判斷函數(shù)f(x)的最小值.
(3)分類討論判斷g'(x)的單調(diào)性與函數(shù)的最小值,從而驗(yàn)證g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.再構(gòu)造新函數(shù)h(a)=e3a-(2lna+6),證明h(a)>0,進(jìn)而判斷函數(shù)g(x)是否穿過(guò)x軸即可.
解答 解:(Ⅰ)若a=-2,則f(x)=−2x−1x+lnx,x∈(0,+∞)f′(x)=−(2x+1)(x−1)x2
由f'(x)>0得,0<x<1;由f'(x)<0得,x>1.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1);單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞).
(Ⅱ)依題意,在區(qū)間[1e,e]上f(x)min>1.f′(x)=ax2−(a+1)x+1x2=(ax−1)(x−1)x2,a≥1.
令f'(x)=0得,x=1或x=1a.
若a≥e,則由f'(x)>0得,1<x≤e;由f'(x)<0得,1e≤x<1.
所以f(x)min=f(1)=a-1>1,滿足條件;
若1<a<e,則由f'(x)>0得,1e≤x<1a或1<x≤e;由f'(x)<0得,1a<x<1.f(x)min=min{f(1e),f(1)},
依題意{f(1e)>1f(1)>1,即{a>e2e+1a>2,所以2<a<e.
若a=1,則f'(x)≥0.
所以f(x)在區(qū)間[1e,e]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(1e)<1,不滿足條件;
綜上,a>2.
( III)x∈(0,+∞),g(x)=ax2-(a+1)xlnx+(a+1)x-1.
所以g'(x)=2ax-(a+1)lnx.設(shè)m(x)=2ax-(a+1)lnx,m′(x)=2a−a+1x=2ax−(a+1)x.
令m'(x)=0得 x=a+12a.
當(dāng)0<x<a+12a時(shí),m'(x)<0;當(dāng)x>a+12a時(shí),m'(x)>0.
所以g'(x)在(0,a+12a)上單調(diào)遞減,在(a+12a,+∞)上單調(diào)遞增.
所以g'(x)的最小值為g′(a+12a)=(a+1)(1−lna+12a).
因?yàn)?a>\frac{1}{e},所以\frac{a+1}{2a}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2a}<\frac{1}{2}+\frac{e}{2}<e.所以g′(x)的最小值g'(\frac{a+1}{2a})=(a+1)(1-ln\frac{a+1}{2a})>0.從而,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.又g(\frac{1}{{{e^5}{a^2}}})=\frac{1}{{{e^{10}}{a^3}}}+\frac{a+1}{{{e^5}{a^2}}}(6+2lna)-1$,
設(shè)h(a)=e3a-(2lna+6).
則h′(a)=e3−2a.令h'(a)=0得a=2e3.由h'(a)<0,得0<a<2e3;
由h'(a)>0,得a>2e3.所以h(a)在(0,2e3)上單調(diào)遞減,在(2e3,+∞)上單調(diào)遞增.
所以h(a)min=h(2e3)=2−2ln2>0.
所以h(a)>0恒成立.所以e3a>2lna+6,2lna+6e3a<1.
所以g(1e5a2)<1e7+a+1e2a−1=1e7+1e2+1e2a−1<1e7+1e2+1e−1<0.
又g(1)=2a>0,所以當(dāng)a>1e時(shí),函數(shù)g(x)恰有1個(gè)零點(diǎn).
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)最值,構(gòu)造新函數(shù)以及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等知識(shí)點(diǎn),屬中等題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 若兩個(gè)三角形的面積相等,則這兩個(gè)三角形全等 | |
B. | 若兩個(gè)三角形不全等,則這兩個(gè)三角形的面積相等 | |
C. | 若兩個(gè)三角形的面積相等,則這兩個(gè)三角形不全等 | |
D. | 若兩個(gè)三角形不全等,則這兩個(gè)三角形的面積不相等 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | (1,3) | B. | [1,3) | C. | [1,+∞) | D. | [2,3) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 6√3 | B. | 6 | C. | 12 | D. | 12√3 |
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