Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a_n+1＞a_n，且滿足a₂+a₄=20，a₃=8
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

an

log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出an=2n．
（Ⅱ）由b_n=

1

an

log₂a_n=

1

2n

log22n=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q（q＞1）
由已知條件，得：

a1q+a1q3=20 a1q2=8

⇒

a1=2 q=2

，
∴an=2n．…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

1

an

log₂a_n=

1

2n

log22n=

n

2n

，
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-（n+2）•(

1

2

)n+1，
∴Sn=2-(n+2)•(

1

2

)n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．