(本題16分)
已知數(shù)列中,
,
(n∈N*),bn=3an。
(1)試證數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式。
(2)在數(shù)列{bn}中,是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的項;若不存在,說明理由。
(3)①試證在數(shù)列{bn}中,一定存在滿足條件1<r<s的正整數(shù)r,s,使得b1,br,bs成等差數(shù)列;并求出正整數(shù)r,s之間的關系。
②在數(shù)列{bn}中,是否存在滿足條件1<r<s<t的正整數(shù)r,s,t,使得b1,br,bs,bt成等差數(shù)列?若存在,確定正整數(shù)r,s,t之間的關系;若不存在,說明理由。
(1)證明: 由,得an+1=2n—an,
∴,
∴數(shù)列是首項為
,公比為
的等比數(shù)列. ……………2分
∴ , 即
,
∴ …………………………………3分
(2)解:假設在數(shù)列{bn}中,存在連續(xù)三項bk-1,bk,bk+1(k∈N*, k≥2)成等差數(shù)列,則bk-1+bk+1=2bk,即,
即=4
…………………………………4分
①若k為偶數(shù),則>0,4
=-4<0,所以,不存在偶數(shù)k,使得bk-1,bk,bk+1成等差數(shù)列。 …………………………………5分
②若k為奇數(shù),則k≥3,∴≥4,而4
=4,所以,當且僅當k=3時,bk-1,bk,bk+1成等差數(shù)列。
綜上所述,在數(shù)列{bn}中,有且僅有連續(xù)三項b2,b3,b4成等差數(shù)列。 …………7分
(3)①證明:要使b1,br,bs成等差數(shù)列,只需b1+bs=2 br,即3+=2[
],即
, ①
(ⅰ)若s=r+1,在①式中,左端=0,右端
=
,要使①式成立,當且僅當s為偶數(shù)時成立。又s>r>1,且s,r為正整數(shù),所以,當s為不小于4的正偶數(shù),且s=r+1時,b1,br,bs成等差數(shù)列�!�9分
(ⅱ)若s≥r+2時,在①式中,左端≥
=
,由(2)可知,r≥3,∴r+1≥4,∴
≥16;右端
≤0(當且僅當s為偶數(shù)、r為奇數(shù)時取“=”),
∴當s≥r+2時,b1,br,bs不成等差數(shù)列。
綜上所述,存在不小于4的正偶數(shù)s,且s=r+1,使得b1,br,bs成等差數(shù)列。 ……11分
②假設存在滿足條件1<r<s<t的正整數(shù)r,s,t,使得b1,br,bs,bt成等差數(shù)列。
首先找到成等差數(shù)列的3項:由第(3)小題第①問,可知,b1,b2n-1,b2n(n∈N*,且n≥2)成等差數(shù)列,其公差d=b2n-b2n-1==
, ……12分
∴bt=b2n+d=+
=3
-3。
又bt=,∴3
-3=
,
即2t-3=
-3。 ② ……………………14分
∵t>2n>2n-1,∴t≥2n+1,∴②式的左端2t-3≥
-3
=
≥8,而②式的右端
-3≤-2,∴②式不成立。
綜上所述,不存在滿足條件1<r<s<t的正整數(shù)r,s,t,使得b1,br,bs,bt成等差數(shù)列。
…………………16分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本題16分)已知橢圓C1:上的點滿足到兩焦點的距離之和為4,雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。
(1) 求雙曲線C2的方程;
(2) 若以橢圓的右頂點為圓心,該橢圓的焦距為半徑作一個圓,一條過點P(1,1)直線與該圓相交,交點為A、B,求弦AB最小時直線AB的方程,求求此時弦AB的長。
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年浙江省寧波市金蘭合作組織高三上學期期中聯(lián)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題16分)已知函數(shù)滿足滿足
;
(1)求的解析式及單調區(qū)間;
(2)若,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆江蘇省無錫市高一下期中數(shù)學(藝術)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題16分)已知函數(shù),其中e是自然數(shù)的底數(shù),
,
(1)當時,解不等式
;
(2)若當時,不等式
恒成立,求a的取值范圍;
(3)當時,試判斷:是否存在整數(shù)k,使得方程
在
上有解?若存在,請寫出所有可能的k的值;若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源:江蘇省09-10學年度第一學期第三次月考高一數(shù)學 題型:解答題
(本題16分)已知函數(shù)的最大值為
,最小值為
.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的最小值并求出對應x的集合.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年江蘇省高一第三次月考數(shù)學卷 題型:解答題
(本題16分)已知函數(shù)的最大值為
,最小值為
.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的最小值并求出對應x的集合.
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