Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（2，0），且在y軸上截得弦長為4．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡Q的方程；
（2）已知點(diǎn)E（m，0）為一個(gè)定點(diǎn)，過E作斜率分別為k₁、k₂的兩條直線交軌跡Q于點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)，且M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，若k₁+k₂=1，求證：直線MN過定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為O₁（x，y），動(dòng)圓與y軸交于R，S兩點(diǎn)，由題意，得|O₁P|=|O₁S|，由此得到

x2+22

=

(x-2)2+y2

，從而能求出動(dòng)圓圓心的軌跡Q的方程．
（2）由

y=k1(x-m) y2=4x

，得k1y2-4y-4k1m=0，由已知條件推導(dǎo)出M（

2

k12

+m，

2

k1

），N（

2

k22

+m，

2

k2

），由此能證明直線MN恒過定點(diǎn)（m，2）．

解答： （1）解：設(shè)動(dòng)圓圓心為O₁（x，y），
動(dòng)圓與y軸交于R，S兩點(diǎn)，由題意，得|O₁P|=|O₁S|，
當(dāng)O₁不在y軸上時(shí)，過O₁作O₁H⊥RS交RS于H，則H是RS的中點(diǎn)，
∴|O₁S|=

x2+22

，
又|O₁P|=

(x-2)2+y2

，
∴

x2+22

=

(x-2)2+y2

，
化簡(jiǎn)得y²=4x（x≠0）．
又當(dāng)O₁在y軸上時(shí)，O₁與O重合，
點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為（0，0）也滿足方程y²=4x，
∴動(dòng)圓圓心的軌跡Q的方程為y²=4x．
（2）證明：由

y=k1(x-m) y2=4x

，得k1y2-4y-4k1m=0，
y1+y2=

4

k1

，y₁y₂=-4m，
AB中點(diǎn)M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），∴M（

2

k12

+m，

2

k1

），
同理，點(diǎn)N（

2

k22

+m，

2

k2

），
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k1k2

k1+k2

=k1k2，
∴MN：y-

2

k1

=k1k2[x-(

2

k12

+m)]，
即y=k₁k₂（x-m）+2，
∴直線MN恒過定點(diǎn)（m，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．