Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，點(diǎn)在直線上.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式，；

（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若，對(duì)所有的正整數(shù)都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式求的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）先根據(jù)作差法判定數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，再根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，最后利用變量分離法求的取值范圍.

（1）∵，∴，即，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴，

∴是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，因此，，

因?yàn)?/span>在直線上，所以，

而，所以.

（2）∵，

∴③

因此④

③－④得：

，

∴.

（3）由（1）知，，

∵，

∴數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；

∴當(dāng)時(shí)，.即的最大值為1.

由可得，，

而當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

∴.