Question

函數(shù)f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)2ax，x＜0

，在（-∞，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（　　）

• A．（-∞，-

  2

  ]∪（1，

  2

  ]
• B．（ 1，

  2

  ]
• C．[-

  2

  ，-1）∪[

  2

  ，+∞）
• D．[

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先分區(qū)間使函數(shù)f（x）在每個區(qū)間上都單調遞增，再保證（a²-1）2^a×0≤a×0²+1，解出a的范圍取交集即可．

解答：解：因為函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
則①當x≥0時，f（x）=ax²+1是單調遞增函數(shù)，所以a＞0．
②當x＜0時，f（x）=（a²-1）2^ax是單調遞增函數(shù)，所以f′（x）=aln2•（a²-1）2^ax≥0，
因為a＞0，所以a≥1．
當a=1時f（x）=0不具有單調性，所以a=1舍去，所以a＞1．
又函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
所以（a²-1）2^a×0≤a×0²+1，解得-

2

≤a≤

2

．
由以上可得1＜a≤

2

，即a的取值范圍為（1，

2

]．
故選B．

點評：本題考查函數(shù)單調性的性質，解決這種分段函數(shù)單調性問題的關鍵是先分區(qū)間保證函數(shù)單調，再保證最值之間滿足大小關系即可．