Question

平面上有n條拋物線，其中每?jī)蓷l都只有兩個(gè)交點(diǎn)，并且每三條都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n條拋物線把平面分成f(n)＝＋1個(gè)部分．

Answer 1

答案：
解析：

證 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，拋物線把平面分成2個(gè)部分，又f(1)＝＋1＝2，∴n＝1時(shí)命題成立．(2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即滿足條件的k條拋物線把平面分成f(k)＝＋1個(gè)部分，則當(dāng)增加了滿足條件的第k＋1條拋物線時(shí)，它與原k條拋物線共有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k＋1條拋物線分成2k＋1段，每一段將原來(lái)的一個(gè)平面分成兩塊，所以共增加了2k＋1個(gè)平面塊．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＋1＝＋1＋2k＋1＝＋1，∴n＝k＋1時(shí)命題成立．根據(jù)①，②可知，對(duì)任意n∈N命題成立．