Question

已知函數(shù).

(1當(dāng) 時， 與)在定義域上單調(diào)性相反，求的 的最小值。

（2）當(dāng)時，求證：存在，使的三個不同的實數(shù)解，且對任意且都有.

 

Answer 1

(1) 1，(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，注意考慮函數(shù)定義域. 兩個函數(shù)的單調(diào)性可以從可以確定的函數(shù)入手.因為當(dāng)時，；當(dāng)時，對恒成立，所以，對恒成立，所以，在上為增函數(shù)。根據(jù)和在定義域上單調(diào)性相反得，在上為減函數(shù)，所以對恒成立，即：，所以因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值.所以，此時的最小值是，-(2)運用函數(shù)與方程思想，方程有三個不同的解，實質(zhì)就是函數(shù)與有三個不同的交點 ，由圖像可知在極大值與極小值之間. 證明不等式，需從結(jié)構(gòu)出發(fā)，利用條件消去a,b，將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)：，從而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，證明不等式.

解析：(1)因為 2分。

當(dāng)時，；當(dāng)時，對恒成立，

所以，對恒成立，所以，在上為增函數(shù)。

根據(jù)和在定義域上單調(diào)性相反得，在上為減函數(shù)，所以對恒成立，即：，所以因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值.所以，此時的最小值是， 6分

(2)因為當(dāng)時，，且一元二次方程的，所以有兩個不相等的實根 8分

當(dāng)時，為增函數(shù)；

當(dāng)時，為減函數(shù)；

當(dāng)時，為增函數(shù)；

所以當(dāng)時，一定有3個不相等的實根，，

分別在內(nèi)，不妨設(shè)，因為，所以即即

即所以

所以

，令，則

由（1）知在上為減函數(shù)，又

所以當(dāng)，又

所以即 16分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)交點，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式