Question

過雙曲線C：的右焦點F的直線l與雙曲線右支相交于A、B兩點，以線段AB為直徑的圓被右準(zhǔn)線截得的劣弧的弧度數(shù)為，那么雙曲線的離心率e=________．

Answer 1

分析：先由以線段AB為直徑的圓被右準(zhǔn)線截得的劣弧的弧度數(shù)為，利用直線與圓相交的幾何性質(zhì)求出AB中點C到準(zhǔn)線的距離，再利用雙曲線第二定義和梯形中位線定理，列方程即可解得離心率
解答：設(shè)|AB|=2R，C為AB中點，CE⊥DG，AD⊥DG，BG⊥DG，DG為雙曲線的右準(zhǔn)線
∵線段AB為直徑的圓被右準(zhǔn)線截得的劣弧的弧度數(shù)為，
∴|CE|=R=（|AD|+|BG|）
∴|AD|+|BG|=R
∵|AF|=e|AD|，|BF|=e|BG|
∴|AB|=|AF|+|BF|=e（|AD|+|BG|）
∴2R=e×R
∴e=
故答案為
點評：本題考查了雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)，直線與圓相交的位置關(guān)系及其幾何性質(zhì)，離心率的求法