Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（x-1）•|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在[2，3]上的最小值為6，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）化方程f（x）=1可化為x²+（x-1）•|x+1|=1，即2x²-1=1（x≥-1）或1=1（x＜-1），從而求解；
（2）f（x）=x²+（x-1）•|x-a|=

2x2-(1+a)x+a，x≥a (a+1)x-a，x＜a

，則

a+1＞0 1+a 4 ≤a

，從而求a；
（3）討論a的不同取值，從而確定實數(shù)a的值．

解答： 解：（1）若a=-1，則方程f（x）=1可化為x²+（x-1）•|x+1|=1，
即2x²-1=1（x≥-1）或1=1（x＜-1），
故x=1或x≤-1；
（2）f（x）=x²+（x-1）•|x-a|=

2x2-(1+a)x+a，x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
則若使函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
則

a+1＞0 1+a 4 ≤a

，
則a≥

1

3

；
（3）若a≥3，則f（x）=（a+1）x-a，x∈[2，3]，
則函數(shù)f（x）在[2，3]上的最小值為6，可化為
2（a+1）-a=6，則a=4；
若

1

3

≤a＜3，則f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，
則2（a+1）-a=6，則a=4無解，
若a＜

1

3

，

1+a

4

＜

1

3

，
則f（x）=x²+（x-1）•|x-a|在[2，3]上單調(diào)遞增，
則2•2²-（1+a）2+a=6，
解得，a=0．
綜上所述，a=0或a=4．

點評：本題考查了函數(shù)導數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．