Question

已知c＞0，設P：函數y=c^x在R上單調遞減，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集為R．如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍．

Answer 1

解：函數y=c^x在R上單調遞減?0＜c＜1．
不等式x+|x-2c|＞1的解集為R?函數y=x+|x-2c|在R上恒大于1．
∵x+|x-2c|=
∴函數y=x+|x-2c|在R上的最小值為2c．
∴不等式x+|x-2c|＞1的解集為R?2c＞1?c＞．
如果P正確，且Q不正確，則0＜c≤．
如果P不正確，且Q正確，則c≥1．
∴c的取值范圍為（0，]∪[1，+∞）．
分析：函數y=c^x在R上單調遞減，推出c的范圍，不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，推出x+|x-2c|的最小值大于1，P和Q有且僅有一個正確，然后求出c的取值范圍．
點評：本題考查絕對值不等式的解法，指數函數單調性的應用，是中檔題．