Question

（2011•太原模擬）定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f（x）的判斷：
①f（x）關(guān)于點(diǎn)P(

1

2

，0)對(duì)稱
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③在[0，1]上是增函數(shù)；
④f（2）=f（0）．
其中正確的判斷是

①、②、④

．（把你認(rèn)為正確的判斷都填上）

Answer 1

分析：由f（-x）=f（x），f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），則可求f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)P(

1

2

，0)對(duì)稱；
f（x）圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱，可得x=1也是圖象的一條對(duì)稱軸，故可判斷①②；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；
由f（x+1）=-f（x）可得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）．

解答：解：由f（x）為偶函數(shù)可得f（-x）=f（x），由f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），則f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)P(

1

2

，0)對(duì)稱，即①正確；
f（x）圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱，故x=1也是圖象的一條對(duì)稱軸，故②正確；
由f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，即③錯(cuò)；
由f（x+1）=-f（x）可得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），∴f（2）=f（0），即④正確
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題．