試用坐標(biāo)法證明余弦定理.

答案:
解析:

  探究:第一步:建立坐標(biāo)系(不妨設(shè)ABC三點(diǎn)為逆時(shí)針方向)

  以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸建立坐標(biāo)系.則A(0,0),B(c,0).

  第二步:用三角形的元素來表示各點(diǎn)的坐標(biāo)

  易得A(0,0),B(c,0).下面我們來確定C點(diǎn)的坐標(biāo),為此我們過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D,我們對角A分銳角、直角、鈍角三種情況來討論,座標(biāo)圖如所示:

  當(dāng)∠A為銳角時(shí),則點(diǎn)C(x,y)在第一象限內(nèi)

  x=AD=|bcosA|=bcosA,y=DC=|bsinA|=bsinA.

  所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(bcosA,bsinA);

  當(dāng)∠A為直角時(shí),則點(diǎn)C(x,y)在y軸正半軸上C(0,b)

  也可以表示成C(bcosA,bsinA);

  當(dāng)∠A為鈍角時(shí),則點(diǎn)C(x,y)在第二象限內(nèi).

  |x|=AD=|bcos(π-A)|=|bcosA|=-bcosA

  ∴x=bcosA,而y=DC=|bsinA|=bsinA

  所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(bcosA,bsinA).

  故無論∠A為銳角、直角、鈍角,點(diǎn)C的坐標(biāo)都為C(bcosA,bsinA).

  第三步:利用兩點(diǎn)間距離公式建立等量關(guān)系

  a2=CB2=(c-bcosA)2+(bsinA)2

 �。絚2-2bccosA+b2cos2A+b2sin2A

 �。絚2-2bccosA+b2(cos2+sin2A)

 �。絚2-2bccosA+b2

  同理:b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC完成證明.

  探究小結(jié):坐標(biāo)法是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算的重要手段,通過建立平面直角坐標(biāo)系,將圖形中的點(diǎn)線關(guān)系的幾何問題轉(zhuǎn)換成對其坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算處理.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知三角形的三個頂點(diǎn)是A(0,0),B(6,0),C(2,2).
(1)求BC邊所在直線的方程;
(2)設(shè)三角形兩邊AB,AC的中點(diǎn)分別為D,E,試用坐標(biāo)法證明:DE∥BC且|DE|=
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|BC|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)用坐標(biāo)法證明余弦定理:已知在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,求證:a2=b2+c2-2bccosA;
(2)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知2b=a+c,求角B的最大值;
(3)如果三個正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2=b2+c2-2bccosA,A∈(0,π),那么是否存在以a,b,c為三邊的三角形?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)用坐標(biāo)法證明余弦定理:已知在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,求證:a2=b2+c2-2bccosA;
(2)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知2b=a+c,求角B的最大值;
(3)如果三個正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2=b2+c2-2bccosA,A∈(0,π),那么是否存在以a,b,c為三邊的三角形?請說明理由.

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